Re: NDSolve

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Christian,

> Es handelt sich um die Beschreibung eines "unendlich langen" magnetischen
> Zylinders, dessen Längsachse sich vertikal zu einem sinusförmigen
> magnetischen Wechselfeld befindet. Der Zylinder wird je nach Parameter um
> seine Längsachse eine Bewegung ausführen, wobei dies Stillstand,
> Oszillation, Rotation und chaotische Bewegung beinhaltet. Die Funktion
> Phi[tau] beschreibt die Position des Zylinders im Bogenmaß, v[r,tau] das
> Strömungsfeld. Die beiden Gleichungen sind über eine Randbedingung
> miteinander verknüpft.
>
> Mit der Funktion NDSolve funktioniert das leider nicht. Das entsprechende
> notebook hänge ich an.
>
> Woran liegt das?

In dem System
\!\(solution =
    NDSolve[{\[PartialD]\_\[Tau]\ v[r, \[Tau]] ==
          1\/ReRot\ \[PartialD]\_r\ \((1\/r\ \[PartialD]\_r\ \((r\ v[
                          r, \[Tau]])\))\), \[PartialD]\_\(\[Tau], \[Tau]\)\
\[CurlyPhi][\[Tau]] -
            4\/\(ReRot\ V\[Rho]\)\ \(\(Derivative[1, 0]\)[v]\)[1, \[Tau]] -
            2  Mag\ Sin[\[Tau]]\ Cos[\ \[CurlyPhi][\[Tau]]] == 0, \
        v[1, \[Tau]] == \ \[PartialD]\_\[Tau]\ \[CurlyPhi][\[Tau]],
        Limit[v[r, \[Tau]], r -> \[Infinity]] ==
          0, \ \[CurlyPhi][0] == \[Pi]\/4, \ \(\[CurlyPhi]'\)[0] ==
          0}, \ {\ \[CurlyPhi], v}, \ {r, \ 1, \ 10}, \ {\[Tau], \ 0, \
        50\ \[Pi]}]\)

wird \phi[\tau] gesucht und die zweite Zeitableitung von \phi hängt von
Cos[\phi[\tau]] ab. Soetwas nennt man eine nichtlineare(s)
(PD)Gleichung(ssystem), dafür gibt es gemeinhin keine Standardalgorithmen. In den
Mathematikinstituten behandeln die Matheprofessoren jeden Prototypen einzeln. Pro
Anwendungsbereich gibt es Experten, die ihre Methoden pflegen. Der übliche Weg
für die numerische Lösung ist (a) Linearisierung, (b) Diskretisierung, (c)
Beweis, dass die numerische Lösung im Grenzwert unabhängig von Diskretisierung
und Linearisierung ist und in "die" Lösung konvergiert. Dass "die" Lösung
existiert, weiss man entweder technisch, weil man immer dasselbe im Labor gesehen
hat, oder als Mathematiker, wenn man einen korrekten Existenz- und
Einzigkeitsbeweis geführt hat. Just have fun!

Gruss
Udo.