Re: Problemen mit der Invertierung einer 10 mal 10 Matrix

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Guten Morgen Ioana,

Sie koennen die beiden unteren Matrizen mit Mma 4.2 und 512 MB 
Hauptspeicher invertieren. Ihr eigener brute force trial und die 
Abschaetzungen der Kollegen haben ergeben, dass man nicht den Befehl 
Inverse[] verwenden sollte. Wie dann?
Die Definition der inversen Matrix  m . Inverse[m] == 
IdentityMatrix[Length[m]] ist eine abgekuerzte Schreibweise fuer 
Length[m] lineare Gleichungssysteme m . v_n = 
IdentityMatrix[Length[m]][[n]]. Die inverse Matrix ist die Sammlung 
dieser einzelnen Loesungsvektoren v_1, v_2, ..., v_n, ..., v_Length[m]. 
Also machen wir doch das etwa fuer quadratische Matrizen:

In[77] := Remove[lucaInverseM];
(* no regularity checks on m done *)
lucaInverseM[m_?MatrixQ] :=
 Module[{resM, rk = Length[m], o, v},
     resM = {};
     For[o = 1, o <= rk, o++,
       v = LinearSolve[m, IdentityMatrix[rk][[o]]];
       resM = Append[resM, v]
       ];
     Transpose[resM]
     ] /; TensorRank[m] == 2 && Dimensions[m] == Dimensions[Transpose[m]]

Die Probe gibt
In[85] := Inverse[{{x, y,
   z}, {z, x, y}, {y, z, x}}] == lucaInverseM[{{
     x, y, z}, {z, x, y}, {y, z, x}}]
Out[85] = True

Somit ist die Aufgabe von der Berechnung des Inversen auf die Loesung 
von 7 (heatflux) bzw. 10 (stress) linearen Glgsystemen reduziert. 
Allerdings muss auch dafuer der Rechner wenigstens die Determinante der 
zu invertierenden Matrix ausrechnen koennen. Das ist moeglich:

In[20] := LeafCount[Det[stress]]
Out[20] = 815748323
In[21] := LeafCount[Det[heatflux]]
Out[21] = 1816756

Und auch eine der linearen Gleichungen - etwa die dritte - wird geloest:
In[82] := LeafCount[LinearSolve[stress, 
IdentityMatrix[Length[stress]][[3]]]]
Out[82] = 1820265380

Wahrscheinlich bedeutet diese Unmenge von Ausdruecken das Ende des 
Verstaendnisses. Rechnerisch koennen Sie es im Ernstfall so packen, dass 
Sie die 7 bzw. 10 linearen Gleichungssystemen einzeln loesen und den 
jeweiligen Loesungsvektor herausschreiben und dann die Loesungsvektoren 
einlesen und die inverse Matrix daraus zusammensetzen (vgl. 
lucaInverseM). Wenn es eine Aufgabe aus der Physik ist, lohnt sich das 
Suchen nach Symmetrien in den Materialgesetzen, anstatt auf den 
allgemeinsten, symmetriefreien Fall loszugehen.

Mit den besten Gruessen
Udo.

luca wrote:

> Hallo!
>
> Ich kann nicht die beiden  unteren Matrizen  mit Mathematica 4.1.2
> (Lynux, SUSE 8.0) invertieren. (No memory available. Mathematica kernel
> has shut down.) Ob es um  Mathematica oder  um den Computer Leistungen
> geht, weiß ich nicht. Kann jemand antworten?
>
> Grüße!
> Ioana
>
> stress = {{2*(1 - alpha15)*(eta1^3/9 - (2*eta1*eta2)/3 + eta3) - ...
>
> heatflux = 
> {{eta9*gamma10 + eta10*gamma11 + eta11*gamma13 + eta12*gamma14 - ...