Mathematica für symbolische kombinatorische (Un)gleichungen

[wendemu <wendemu@XXXXXXX.de>]

Hallo, 

vielleicht kann jemand helfen.
Ich benutze Version 5.0 für das folgende Problem:

FullSimplify[Sum[Binomial[n, k] * Binomial[n, r - k], {k, 0, n}]]

ergibt

Out[45]=
Gamma[1 + 2 n]/
( Gamma[1 + 2 n - r] Gamma[1 + r] )


Allerdings ist bekannt, dass, mit n und r nicht-negative integers,
das obige ergeben müsste:

 Binomial[2*n, r].

Wie kriege ich Mathematica dazu, das Resultat in diesem Fall 
nicht in Gamma-Funktionen  anzugeben?


Mathematica KANN das Resultat Binomial[2*n, r] erzeugen (aber dazu 
müsste ich es vorher wissen, was ich natürlich normalerweise nicht tue),
denn

FullSimplify[Sum[Binomial[n, k] * Binomial[n, r - k], {k, 0, n}] -
Binomial[2*n, r] ]

ergibt

0

wie gewünscht.

Meine zweite Frage:

Wie finde ich heraus, ob kombinatorische Ungleichungen wahr oder falsch sind?
Also z.B. 


Sum[Binomial[n, k], {k, 0, r}] < 2^n -1
ist wahr  für r < n-1.

Gibt es Mathematica Kommandos, die dieses Rultat 
produzieren?

Vielen Dank,


Andreas