Re: Elliptische Kurven 2. Teil

["Udo und Susanne Krause" <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hoi Andreas,

> Die Umkehrfunktion Phi von Psi funktioniert. Psi dagegen liefert mir ein
> Paar von Paaren, und ich weiss nicht, wie man damit zum gesuchten  
> Resultat gelangen kann.

In[168]:= Needs["FiniteFields`"]
Remove[\[GothicCapitalO], d, Psi]
\[GothicCapitalO] = {\[Infinity], \[Infinity]}; (* unendlich ferner \
Punkt *)
d = {1, 6, 2 + Sqrt[3], 2 + 6 Sqrt[3], 3 Sqrt[3], 4 Sqrt[3],
   5 + Sqrt[3], 5 + 6 Sqrt[3]};
(* pattern nur für diesen Erweiterungskörper *)
Psi[t_?NumericQ] :=
 Block[{u, v, C = {-3, 0, 1}},
  If[MatchQ[t, Plus[_, __]],(* then *)
    u = Part[t, 1];
    v = If[Head[Part[t, 2]] === Power, 1, Part[t, 2, 1]]
    , (* else *)
    If[AtomQ[t],(* then *)
     u = t; v = 0, (* else *)
     u = 0; v = Part[t, 1]
     ]
    ]
   If[! (0 <= u < 7 && 0 <= v < 7 && IntegerQ[u] && IntegerQ[v]),
    Print["Eingabe falsch [geparst]: u = ", u, ", v = ", v];
    Return[$Failed]
    ];
  Print["t = ", t, ", u = ", u, ", v = ", v];
  If[t == 1, \[GothicCapitalO],
        {GF[7, C][{4, 0}] GF[7, C][{0,
       2}] GF[7, C][{u, v}]/(GF[7, C][{u, v}] - GF[7, C][{1, 0}])^2,
    GF[7, C][{4, 0}] GF[7, C][{0, 3}] GF[7, C][{u, v}] (GF[7, C][{1, 0}] +
        GF[7, C][{u, v}])/(GF[7, C][{u, v}] - GF[7, C][{1, 0}])^3}]
  ]

In[167]:= Transpose[{d, Psi /@ d}]

        t = 1, u = 1, v = 0
        t = 6, u = 6, v = 0
        t = 2+Sqrt[3], u = 2, v = 1
        t = 2+6 Sqrt[3], u = 2, v = 6
        t = 3 Sqrt[3], u = 0, v = 3
        t = 4 Sqrt[3], u = 0, v = 4
        t = 5+Sqrt[3], u = 5, v = 1
        t = 5+6 Sqrt[3], u = 5, v = 6   

Out[167]= {{1, {\[Infinity], \[Infinity]}},
        {6, {Subscript[{0, 5}, 7], 0}},
        {2 + Sqrt[3], {Subscript[{0, 4}, 7], Subscript[{4, 0}, 7]}},
        {2 + 6 Sqrt[3], {Subscript[{0, 4}, 7], Subscript[{3, 0}, 7]}},
        {3 Sqrt[3], {Subscript[{0, 3}, 7], Subscript[{5, 0}, 7]}},
        {4 Sqrt[3], {Subscript[{0, 3}, 7], Subscript[{2, 0},  7]}},
        {5 + Sqrt[3], {Subscript[{0, 1}, 7], Subscript[{2, 0}, 7]}},
        {5 + 6 Sqrt[3], {Subscript[{0, 1}, 7], Subscript[{5, 0}, 7]}}}

es fällt auf, dass alle Paare ausser dem ersten (unendlich ferner Punkt)  
die Form{{0, a}, {b, 0}} haben, dass also nur 2 Informationen enthalten  
sind. Das ist brauchbar für eine Abbildung auf ein Paar {a,b}. Die Werte b  
stimmern auch mit dem dem zweiten Wert im Soll überein; aber es fehlt ein  
Schritt - die Abbildung von {{0,a},{b,0}} -> {a,b}. Zudem passen die  
a-Werte nicht, oder gibt es einen Druckfehler in (4 A t)/(-1 + t)^2?

Gruss
Udo.