Re: Problem mit Integrate

[Jens-Peer Kuska <kuska@XXXXXXX.de>]

Hallo,

> Liebe Mathematica-Experten
> 
> Mich plagt das folgende Problem (Mathematica 4.0 fuer IBM RISC System/6000):
> 
> es ist ein Integrand gegeben, der unter anderem auch von den beiden Variablen
> qt und pt abhaengt. qt und pt sollen nicht von z abhaengen:
> 
> integrand[z_,pt_,qt_] := (4*((6*t + 12*q[ss]^2)/(pt^2 + qt^2 + ss - 2*pt*qt*z)
> +
>                      (6*t + 12*q[ss]^2)/(-pt^2 - qt^2 - 2*Sigma + ss + t +
>                     2*pt*qt*z) + (3*(Delta^2*(2*(Sigma + ss) - t) +
>                         ss*(-4*Sigma^2 + 2*Sigma*t - 3*ss*t) +
>                         4*ss*(-2*(Sigma + ss) + t)*q[ss]^2))/ss^3))/q[ss]^2;
> 
> Ich bilde nun die Differenz von zwei Integrationen:
> 
> Integrate[integrand[z,a, b], {z, -1, 1}] -
>         (Integrate[integrand[z,fix, foxy] , {z, -1, 1}]) /.
>         {fix -> a, foxy -> b} // FullSimplify
> 
> Das Resultat ist 0 (Null). Da bin ich nicht wirklich ueberrascht.

Naja - da jede Integration nur bis auf eine Konstante bestimmt ist muss
die bei zwei verschiedenen Integrationen nicht die selbe sein.

> Schon mehr erstaunt mich das folgende Resultat (ich ersetze lediglich fix -> x,
> foxy -> y):
> 
> Integrate[integrand[z,a, b], {z, -1, 1}] -
>         (Integrate[integrand[z,x, y] , {z, -1, 1}]) /.
>         {x -> a, y -> b} // FullSimplify

F"ur reele Argumente bekomt man mit


% //. a_.Log[b_] + c_.*Log[d_] :> Log[b^a*d^c] // FullSimplify

auch Null raus.
> 
> Hier erhalte ich ein nicht generell mit Null identisches Resultat, d.h. das
> Mathematica-Resultat dieser Integration scheint vom "Aussehen" irgendwelcher
> Konstantennamen abhaengen zu koennen(der "Inhalt" dieser Konstanten ist
> derselbe).
> 
> Es ist mir klar, dass das Auswerten eines bestimmten Integrals recht trickreich
> sein kann, wenn die Stammfunktion dieses Integrals Diskontinuitaeten aufweist.

Oh, ja das heisst Risch-Algorithmus.

> Ob man aber obiges, fuer mich seltsames, Verhalten damit erklaeren kann, ist
> mir aber unklar, denn was macht es fuer Mathematica, ausser evtl. beim
> Parsern(?), fuer einen Unterschied ob Konstanten x und y oder fix und foxy
> genannt werden?

N"o das hat nix mit dem Parser zu tun. Sondern mit der Ordnung von
Ausdr"ucken.
Mathematica ordnet (in Funktionen mit dem Attribut Orderless) nach
  1) ganzen Zahlen,
  2) Symbole
  3) Funktionen

Symbole werden nach ihrer "alphabetischen" Reihenfolge geordnet. Das
erm"oglicht 
das Zusammenfassen (sagen wir mal aller Zahlen) in einem Ausdruck, weil
die nach dem
Ordnen hintereinander stehen. B.z.w das Zusammenfassen von x*x*x -> x^3
weil die auch
hintereinander stehen. Tja und da kommen die Variablen Namen ins Spiel.
In der
R. Kauka-Memorial Variante steht z. B. im ersten Summanden

4 Delta^2 fix foxy Sigma

in der xy Version

4 Delta^2 Sigma x y

Der Risch-Algoritmus(den auch Mathematica als Basis verwendet) 
muss beim Integrieren erstmal die "unabh"agingen Terme zusammen sammeln
und
sich dabei durch den ganzen Ausdruck h"angeln der aber auf Grund der
anderen Ordnung der Variablen eine ganz andere Struktur hat. Folglich
fasst
er auch die Terme etwas anders zusammen. Auch weil er z. B. je nach
Ordnung der Variablen
mal -(a-c)  oder (x-y) zu verwendet wobei letzteres nach (der
Transformation {x->c, y->a})
auch das selbe w"are. Jedenfalls unterscheiden sich dadurch die
Integrationskonstanten
weil er mal ein "Ordungs-Minus" wie oben entdeckt, und eine andere
Konstante
gew"ahlt hat.

> Darf man gar nicht erwarten, dass beide obigen Differenzen immer verschwinden
> sollten?

Bis auf eine beliebige Konstante ..

"Ubrigens hat meine aller erste Computer-Algebra die Symbole nicht
alphabetisch
geordnet sondern nach dem Zeitpunkt der Eingabe. So das je nach dem, mal
 x^2*y  oder y*x^2 ausgegeben wurde weil man einmal im verlauf des
Dialogs
x vor y verwendet hatte und einmal y vor x. Das war noch besser ;-)

Gruss
  Jens