Re: Re : Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)

[Jens-Peer Kuska <kuska@XXXXXXX.de>]

Hallo,

"ahm das ist ja wohl ein Scherz oder ?
Bestimmt, denn erstmal erhebt sich die
Frage, was wohl mit M^2 gemeint sein k"onnte.

Das "ubliche Verst"andnis ist wohl

Dot[M.M]

allerdings w"are auch

Dot[Transpose[M],M]

akzeptabel.

Sqrt[M] berechnet aber (wegen dem Attribut Listable)

{Sqrt[M[[1,1]]],Sqrt[M[[1,2]]],..},..}

die Wurzel elementweise, was zwar mit M*M konsistent
ist, aber das w"are ja die elementweise Multiplikation.

Wie man an

In[]:= m = {{2, 3}, {1, 2}};
       mm = Sqrt[m];
       mm.mm
Out[]={{2 + Sqrt[3], 2*Sqrt[6]}, {2*Sqrt[2], 2 + Sqrt[3]}}

leicht sieht, arbeitet Sqrt[m] *nicht* korrekt
wenn man M^2=M.M  annimmt.

Korrekt w"are es, die Matrix auf Diagonal-Form zu bringen,
die Wurzel der Eigenwerte zu ziehen und diese
Diagonalmatrix wieder zur"uck zu transformieren.

Damit das aber klappt, muss die Matrix erstmal verschiedene
Eigenwerte haben und man muss sich "uberlegen, wie
man die Vorzeichen der Wurzeln der Eigenwerte w"ahlt,
denn es gibt nat"urlich mehr als eine Matrix die s.s=M

Dumm dabei ist nat"urlich, dass eine allgemeine
Matrix rechte und Linke Eigenvektoren hat und man eine
Matrix normalerweise nur auf Jordansche Normalform 
bringen kann.

Bevor man also nach der L"osung Sqrt[M] fragt sollte man
kl"aren *was* f"ur Matrixen man hat -- z. B. symmetrische,
positive, ...

Man kann es auch mit der Potenzreihe f"ur Sqrt[x] probieren
die aber bei x=0 nicht existiert und hoffen das die
Reihe mit den MatrixPower[]n konvergiert. Auf jeden Fall
muss man das Eigenwertsprektrum sogf"altig untersuchen.

Gruss
  Jens




woysch|u| wrote:
> 
> Stuttgart, den 15. Mai 2003
> 
> An alle Mathematica-Kundigen !
> 
> Die Anfrage war voreilig - Entschuldigung !
> 
> Sqrt[ M ] funktioniert ganz normal !
> 
> Inverse[ Sqrt[ M ] ] funktioniert auch !
> 
> Das hatte ich nicht erwartet, weil MatrixPower anscheinend nur ganzzahlige
> Exponenten kann ( nach Dokumentation ).
> 
> Mit freundlichen Gruessen,
> 
> Gunter Woysch
> 
> ------------- Begin Forwarded Message -------------
> 
> Date: Thu, 15 May 2003 14:30:11 +0200 (MET DST)
> From: woysch |u| <gunter.woysch@XXXXXXX.de>
> Subject: Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)
> To: dmug@XXXXXXX.ch
> Cc: Gunter.Woysch@XXXXXXX.de
> MIME-Version: 1.0
> Content-MD5: UW4VUj6yMBSmNzL8C14bPQ==
> 
> Stuttgart, den 15. Mai 2003
> 
> An alle Mathematica-Kundigen !
> 
> Matrix-Operationen
> ------------------
> 
> Gegeben sei eine quadratische Matrix M, z.b. eine 2 x 2 Matrix.
> 
> Fragen
> ------
> 
>  - Wie berechnet man mit Mma
> 
>        M^(1/2) = Sqrt[ M ]  ?
> 
>  - Wie berechnet man
> 
>        M^(-1/2)  ?
> 
> Vielen Dank
> -----------
> 
> Vielen Dank fuer jeden kurzen Hinweis !
> 
> Mit freundlichen Gruessen,
> 
> Gunter Woysch
> 
> ------------- End Forwarded Message -------------