Re: Re : Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)

[woysch |u| <gunter.woysch@XXXXXXX.de>]

Stuttgart, den 15. Mai 2003

Sehr geehrter Herr Kuska,

Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)
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zuerst einmal : Das war kein Scherz, nur voreilig ..

Ich arbeite gerade mal wieder ein Skript zur Beschreibung von elektrischen 
Zweitoren mit Hilfe der Admittanzmatrix, Impedanzmatrix, der Hybridmatrizen, der 
Kettenmatrix und der Streumatrix durch.

  [ Horst Wupper
    Elektronische Schaltungen I/II
    FernUniversitaet Hagen 
  ]
  
Dort wollte ich einfach einiges zur Uebung mit Mma nachrechnen.

Der konkrete Anstoss zur Anfrage
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Angenommen, folgende Matrix sei gegeben :

  R = diag[ R1, R2 ] = { { R1, 0 }, { 0, R2 } } .
  
Im Skript werden dann fuer abgeleitete Matrizen einfach hochgestellte Potenzen 
-1, 1/2, -1/2 geschrieben :

  R^(-1)   =  { {   1/R1      , 0 }, { 0 ,   1/R2      } } ;
  
  R^(1/2)  =  { {  Sqrt[ R1 ] , 0 }, { 0,  Sqrt[ R1 ]  } } ;
  
  R^(-1/2) =  { { 1/Sqrt[ R1 ], 0 }, { 0, 1/Sqrt[ R2 ] } } .
  
Im Skript findet sich auch die Bemerkung :

Fuer eine beliebige quadratische Matrix A ist A^(1/2) durch die Beziehung 
A^(1/2) A^(1/2) = A definiert; im allgemeinen erhaelt man also A^(1/2) nicht 
durch Radizieren der Elemente aus Matrix A.
  
Meine Frage
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Meine Basisfrage koennte man also wie folgt formulieren :

  Wie schreibt man das, 
  
     was sich im Skript so selbstverstaendlich liest, 
     
        korrekt in Mathematica ? 
    
Danke 
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Danke fuer Ihre Erlaeuterungen und die vielen Stichworte !

Mit freundlichen Gruessen,

Gunter Woysch

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> Date Thu, 15 May 2003 16:56:07 +0200
> From: Jens-Peer Kuska <kuska@XXXXXXX.de>
> To: woysch|u| <gunter.woysch@XXXXXXX.de>
> CC: Deutsche Mathematica News Group <dmug@XXXXXXX.ch>
> Subject: Re: Re : Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)
> 
> Hallo,
> 
> "ahm das ist ja wohl ein Scherz oder ?
> Bestimmt, denn erstmal erhebt sich die
> Frage, was wohl mit M^2 gemeint sein k"onnte.
> 
> Das "ubliche Verst"andnis ist wohl
> 
> Dot[M.M]
> 
> allerdings w"are auch
> 
> Dot[Transpose[M],M]
> 
> akzeptabel.
> 
> Sqrt[M] berechnet aber (wegen dem Attribut Listable)
> 
> {Sqrt[M[[1,1]]],Sqrt[M[[1,2]]],..},..}
> 
> die Wurzel elementweise, was zwar mit M*M konsistent
> ist, aber das w"are ja die elementweise Multiplikation.
> 
> Wie man an
> 
> In[]:= m = {{2, 3}, {1, 2}};
>        mm = Sqrt[m];
>        mm.mm
> Out[]={{2 + Sqrt[3], 2*Sqrt[6]}, {2*Sqrt[2], 2 + Sqrt[3]}}
> 
> leicht sieht, arbeitet Sqrt[m] *nicht* korrekt
> wenn man M^2=M.M  annimmt.
> 
> Korrekt w"are es, die Matrix auf Diagonal-Form zu bringen,
> die Wurzel der Eigenwerte zu ziehen und diese
> Diagonalmatrix wieder zur"uck zu transformieren.
> 
> Damit das aber klappt, muss die Matrix erstmal verschiedene
> Eigenwerte haben und man muss sich "uberlegen, wie
> man die Vorzeichen der Wurzeln der Eigenwerte w"ahlt,
> denn es gibt nat"urlich mehr als eine Matrix die s.s=M
> 
> Dumm dabei ist nat"urlich, dass eine allgemeine
> Matrix rechte und Linke Eigenvektoren hat und man eine
> Matrix normalerweise nur auf Jordansche Normalform 
> bringen kann.
> 
> Bevor man also nach der L"osung Sqrt[M] fragt sollte man
> kl"aren *was* f"ur Matrixen man hat -- z. B. symmetrische,
> positive, ...
> 
> Man kann es auch mit der Potenzreihe f"ur Sqrt[x] probieren
> die aber bei x=0 nicht existiert und hoffen das die
> Reihe mit den MatrixPower[]n konvergiert. Auf jeden Fall
> muss man das Eigenwertsprektrum sogf"altig untersuchen.
> 
> Gruss
>   Jens
> 
> 
> 
> 
> woysch|u| wrote:
> > 
> > Stuttgart, den 15. Mai 2003
> > 
> > An alle Mathematica-Kundigen !
> > 
> > Die Anfrage war voreilig - Entschuldigung !
> > 
> > Sqrt[ M ] funktioniert ganz normal !
> > 
> > Inverse[ Sqrt[ M ] ] funktioniert auch !
> > 
> > Das hatte ich nicht erwartet, weil MatrixPower anscheinend nur ganzzahlige
> > Exponenten kann ( nach Dokumentation ).
> > 
> > Mit freundlichen Gruessen,
> > 
> > Gunter Woysch
> > 
> > ------------- Begin Forwarded Message -------------
> > 
> > Date: Thu, 15 May 2003 14:30:11 +0200 (MET DST)
> > From: woysch |u| <gunter.woysch@XXXXXXX.de>
> > Subject: Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)
> > To: dmug@XXXXXXX.ch
> > Cc: Gunter.Woysch@XXXXXXX.de
> > MIME-Version: 1.0
> > Content-MD5: UW4VUj6yMBSmNzL8C14bPQ==
> > 
> > Stuttgart, den 15. Mai 2003
> > 
> > An alle Mathematica-Kundigen !
> > 
> > Matrix-Operationen
> > ------------------
> > 
> > Gegeben sei eine quadratische Matrix M, z.b. eine 2 x 2 Matrix.
> > 
> > Fragen
> > ------
> > 
> >  - Wie berechnet man mit Mma
> > 
> >        M^(1/2) = Sqrt[ M ]  ?
> > 
> >  - Wie berechnet man
> > 
> >        M^(-1/2)  ?
> > 
> > Vielen Dank
> > -----------
> > 
> > Vielen Dank fuer jeden kurzen Hinweis !
> > 
> > Mit freundlichen Gruessen,
> > 
> > Gunter Woysch
> > 
> > ------------- End Forwarded Message -------------