Re: Matrix-Operationen : M^(1/2) = Sqrt[M], M^(-1/2)

[Spwelke@XXXXXXX.com]

Lieber Gunter,

eine einfache Antwort auf Ihre Frage gibt es nicht, wohl aber für 
Spezialfälle:

(1)  Ist  M die Matrix einer Drehung um den Winkel alpha, so ist  M^(1/2) 
eine Drehung um den Winkel alpha/2. Das lässt sich programmieren. Es gibt 
aber auch noch andere Lösungen.

(2)  Ist M eine symmetrische Matrix, dann besitzt sie positive reelle 
Eigenwerte und sie ist zerlegbar in  M = O * D * O^(-1). Hier ist O eine 
orthogonale Matrix und D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von M in der 
Diagonalen. Wir bilden nun eine Diagonalmatrix D^(1/2), deren 
Diagonalelemente die Quadratwurzeln der Eigenwerte von M sind. Es gilt dann:  
 (D^(1/2))^2 = D und, wie man leicht nachrechnet, (M^(1/2))^2 = M
So etwas lässt sich in Mathematica realisieren. Auch hier gibt es noch 
weitere Lösungen.

(3) Entsprechend (2) lässt sich auch M^(-1/2) und M^q definieren, wenn q eine 
rationale Zahl ist. 

(4) Der allgemeine Fall ist viel komplizierter. Die Gleichung X^2 = M besitzt 
für komplexe Zahlen M zwei Lösungen, für 2x2 - Matrizen M gibt es Beispiele 
mit vier und mehr Lösungen.
Das liegt daran, dass quadratische Matrizen gleicher Dimension einen Ring und 
keinen Körper bilden, d.h. die Division fällt weg. Und dann gilt der 
Fundamentalsatz der Algebra nicht mehr usw. . 

MfG

Stefan Welke

P.S.: Ich habe gerade die "Entwarnung" gelesen. Sqrt[M].Sqrt[M] liefert aber 
nicht M. Sqrt[M] liefert eine Matrix, deren Komponenten die Quadratwurzeln 
der entsprechenden Komponenten von M enthält. Wollten Sie das? Wenn ja, wofür 
braucht man das?