RE: KnabenSchiessenRätsel

["Wolf, Hartmut" <Hartmut.Wolf@XXXXXXX.com>]

>-----Original Message-----
>[[ E-Post Adressen entfernt -- REM ]]
>Subject: KnabenSchiessenRätsel
>
>
>Liebe Freunde von mathematischen Rätseln,
>
>es scheint, dass
>
>With[{o = oo},   Nest[Cos[1  - #] &, Cos[x], o]]
>
>für grosse oo (oo > 7, oo-> Infinity) von x unabhängig und konstant 1
>wird. Stimmt das?
>
>Mit den besten Grüssen
>Udo.
>
>(P.S.: Knabenschiessen ist ein Feiertag in der Stadt Zürich, dies Jahr
>am 15. 9.)
>
>

empirischer Befund: Take 5 sieht noch gut aus:

Plot[Evaluate[Take[NestList[Cos[1 - #] &, Cos[x], 7], 5]], {x, 0, 2Pi}, 
  PlotRange -> All]

danach geht's sehr schnell nach 1, (ohne Apfel) auf den Dip gesetzt:


In[7]:= $MaxExtraPrecision=20000;
In[8]:= Off[General::"stop"]
In[9]:= 
N[N[1-NestList[Cos[1-#]&,Cos[x],20]/.x -> Pi,20000]]//Timing
>From In[9]:=
$MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
attempting to evaluate
1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Co
s[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[2]]]]]]]]]]]]]]]]]], the limit
$MaxExtraPrecision = 20000.` was reached. Increasing the value of
$MaxExtraPrecision may help resolve the uncertainty.
>From In[9]:=
$MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while ....
>From In[9]:=
$MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while ....
>From In[9]:=
$MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while ....
>From In[9]:=
$MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while ....
Out[9]=
 {896.279` Second,
     {2.`, 1.4161468365471424`, 0.8459662178619777`, 
      0.3369917302715767`, 0.0562463826746722`, 0.0015814107961129946`, 
      1.2504297924355033`*^-6, 7.817873329050459`*^-13, 
      3.0559571694539253`*^-25, 4.669437110768425`*^-50, 
      1.0901821465710684`*^-99, 5.9424855635115125`*^-199, 
      1.76565673362713693035618844`15.9546*^-397, 
      1.55877185050142518829300657979`15.9546*^-794, 
      1.214884840957818718517801796314`15.9546*^-1588, 
      7.3797258839455224105421305`15.9546*^-3177, 
      2.7230177061087761050981318664`15.9546*^-6353, 
      3.7074127138909504781778460603`15.9546*^-12706, 
      6.8724545155601313143468719362`15.9546*^-25412, 0.`, 0.`}}


Die Konvergenz kann man auch etwas billiger ansehen:

In[11]:= f[x_]=Series[1-Cos[x],{x,0,2}]//Normal
Out[11]= x^2/2


In[15]:= (f7=N[1-Nest[Cos[1-#]&,Cos[Pi],7],2000])//N
Out[15]= 7.817873329050459`*^-13

In[16]:= N[N[NestList[f,f7,13],20000]]
Out[16]=
   {7.817873329050459`*^-13, 3.0559571694539253`*^-25, 
    4.669437110768425`*^-50, 1.0901821465710684`*^-99, 
    5.9424855635115125`*^-199, 1.76565673362713693035618988`15.9546*^-397, 
    1.55877185050142518829300912034`15.9546*^-794, 
    1.214884840957818718517805775527`15.9546*^-1588, 
    7.3797258839455224105421786`15.9546*^-3177, 
    2.7230177061087761050981673712`15.9546*^-6353, 
    3.7074127138909504781779427404`15.9546*^-12706, 
    6.8724545155601313143472303691`15.9546*^-25412, 
    2.36153155342214195929353811726`15.9546*^-50823, 
    2.78841563890419746130603376982`15.9546*^-101646}

Ich denke, aus diesen Beobachtungen läßt sich ein Beweis zusammenbauen.

--
Hartmut Wolf