Re: KnabenSchiessenRätsel

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Hartmut,

man kann so argumentieren: Sei g[x] := Limit[Nest[Cos[1 - #]&, Cos[x],
o], o ->
Infinity], dann besteht die
Gleichung Cos[1 - g[x]] == g[x]. Angenommen, g[x] haengt differenzierbar
von x
ab, dann waere
Sin[1 - g[x]] g'[x] = g'[x]. An den Stellen, wo g'[x] != 0 ist, muss
Sin[1 -
g[x]] = 1 gelten, daraus würde
g[x] = 1 - Pi/2 resultieren, oder mit anderen Worten, g'[x] == 0.
Demnach gilt
die einfachere Gleichung
Cos[1 - g0] = g0, wobei nun g0 := Limit[Nest[Cos[1 - #]&, Cos[x], o], o
->
Infinity] und die Lösung ist g0 = 1.

Wenn diese Argumentation korrekt ist, dann würde man ebenso ermitteln,
dass
Limit[Nest[Cos[Pi/2 - #]&, Cos[x], o], o -> Infinity] = 0 ist. Jedoch
findet man

$RecursionLimit = 1400;
$MaxExtraPrecision = 500;
In[19] := With[{p = Pi/2, o = 1349, x = 0}, N[Nest[Cos[p - #] &, Cos[x],
o],
23]]
Out[21]= 0.047040248814554451966544

und etwa
In[22]:=With[{p = Pi/2, o = 1349, x = Pi}, N[Nest[Cos[p - #] &, Cos[x],
o], 23]]

Out[22]= -0.047040248814554451966544

Ein weiteres Rätsel ... was passiert wirklich, ist es ein numerisches
Problem
für p = Pi/2 oder ist der Beweis falsch?

Hinweis:
In[25]:=With[{p = Pi/2}, FindRoot[Cos[p - g0] == g0, {g0, -1}]]
Out[25]= {g0 -> -0.0168228}

In[26]:=$Version
Out[26]= 4.2 for Microsoft Windows (June 5, 2002)

Mit den besten Grüssen
Udo.


"Wolf, Hartmut" schrieb:

> >-----Original Message-----
> >[[ E-Post Adressen entfernt -- REM ]]
> >Subject: KnabenSchiessenRätsel
> >
> >
> >Liebe Freunde von mathematischen Rätseln,
> >
> >es scheint, dass
> >
> >With[{o = oo},   Nest[Cos[1  - #] &, Cos[x], o]]
> >
> >für grosse oo (oo > 7, oo-> Infinity) von x unabhängig und konstant 1

> >wird. Stimmt das?
> >
> >Mit den besten Grüssen
> >Udo.
> >
> >(P.S.: Knabenschiessen ist ein Feiertag in der Stadt Zürich, dies
Jahr
> >am 15. 9.)
> >
> >
>
> empirischer Befund: Take 5 sieht noch gut aus:
>
> Plot[Evaluate[Take[NestList[Cos[1 - #] &, Cos[x], 7], 5]], {x, 0,
2Pi},
>   PlotRange -> All]
>
> danach geht's sehr schnell nach 1, (ohne Apfel) auf den Dip gesetzt:
>
> In[7]:= $MaxExtraPrecision=20000;
> In[8]:= Off[General::"stop"]
> In[9]:=
> N[N[1-NestList[Cos[1-#]&,Cos[x],20]/.x -> Pi,20000]]//Timing
> >From In[9]:=
> $MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
> attempting to evaluate
>
1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Co

> s[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[1-Cos[2]]]]]]]]]]]]]]]]]], the limit
> $MaxExtraPrecision = 20000.` was reached. Increasing the value of
> $MaxExtraPrecision may help resolve the uncertainty.
> >From In[9]:=
> $MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
....
> >From In[9]:=
> $MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
....
> >From In[9]:=
> $MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
....
> >From In[9]:=
> $MaxExtraPrecision::meprec: In increasing internal precision while
....
> Out[9]=
>  {896.279` Second,
>      {2.`, 1.4161468365471424`, 0.8459662178619777`,
>       0.3369917302715767`, 0.0562463826746722`,
0.0015814107961129946`,
>       1.2504297924355033`*^-6, 7.817873329050459`*^-13,
>       3.0559571694539253`*^-25, 4.669437110768425`*^-50,
>       1.0901821465710684`*^-99, 5.9424855635115125`*^-199,
>       1.76565673362713693035618844`15.9546*^-397,
>       1.55877185050142518829300657979`15.9546*^-794,
>       1.214884840957818718517801796314`15.9546*^-1588,
>       7.3797258839455224105421305`15.9546*^-3177,
>       2.7230177061087761050981318664`15.9546*^-6353,
>       3.7074127138909504781778460603`15.9546*^-12706,
>       6.8724545155601313143468719362`15.9546*^-25412, 0.`, 0.`}}
>
> Die Konvergenz kann man auch etwas billiger ansehen:
>
> In[11]:= f[x_]=Series[1-Cos[x],{x,0,2}]//Normal
> Out[11]= x^2/2
>
> In[15]:= (f7=N[1-Nest[Cos[1-#]&,Cos[Pi],7],2000])//N
> Out[15]= 7.817873329050459`*^-13
>
> In[16]:= N[N[NestList[f,f7,13],20000]]
> Out[16]=
>    {7.817873329050459`*^-13, 3.0559571694539253`*^-25,
>     4.669437110768425`*^-50, 1.0901821465710684`*^-99,
>     5.9424855635115125`*^-199,
1.76565673362713693035618988`15.9546*^-397,
>     1.55877185050142518829300912034`15.9546*^-794,
>     1.214884840957818718517805775527`15.9546*^-1588,
>     7.3797258839455224105421786`15.9546*^-3177,
>     2.7230177061087761050981673712`15.9546*^-6353,
>     3.7074127138909504781779427404`15.9546*^-12706,
>     6.8724545155601313143472303691`15.9546*^-25412,
>     2.36153155342214195929353811726`15.9546*^-50823,
>     2.78841563890419746130603376982`15.9546*^-101646}
>
> Ich denke, aus diesen Beobachtungen läßt sich ein Beweis
zusammenbauen.
>
> --
> Hartmut Wolf