Re: Positive und reelle Eigenwerte...

[Harald von Aschen <harald.von.aschen@XXXXXXX.de>]

At 18:46 29.11.03 +0100, you wrote:

Hallo!

> Matrix2D = {{A, 0, f[t]*p1, -f[t]*p1, f[t]*p3, -f[t]*p3, 0, 0}, {0, A, 
> f[t]*p2, -f[t]*p2, 0, 0, f[t]*p3, -f[t]*p3},
>     {f[t]*p1, f[t]*p2, (1/3)*B, 0, 0, 0, 0, 0}, {-f[t]*p1, -f[t]*p2, 0, 
> (1/3)*B, 0, 0, 0, 0},
>     {f[t]*p3, 0, 0, 0, (1/4)*B, 0, 0, 0}, {-f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, (1/4)*B, 
> 0, 0},
>     {0, f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, (1/3)*B, 0}, {0, -f[t]*p3, 0, 0, 0, 0, 0, 
> (1/3)*B}};
> Eigenvalues[Matrix2D]
>
> allerdings entwickelt sich der Output als außerordentlich seltsam, siehe 
> (Ausschnitt)
>
> {B/4, B/3, B/3, Root[36*#1^5 - 72*A*#1^4 - 33*B*#1^4 + 36*A^2*#1^3 + 
> 10*B^2*#1^3 - 72*p1^2*#1^3 -
>      72*p2^2*#1^3 - 108*p3^2*#1^3 + 66*A*B*#1^3 - 36*p3*Subscript[p, 
> 3]*#1^3 - B^3*#1^2 -
>      20*A*B^2*#1^2 + 72*A*p1^2*#1^2 + 42*B*p1^2*#1^2 + 72*A*p2^2*#1^2 + 
> 42*B*p2^2*#1^2 +
>      108*A*p3^2*#1^2 + 66*B*p3^2*#1^2 - 33*A^2*B*#1^2 + 
> 36*A*p3*Subscript[p, 3]*#1^2 + usw
>
> Das #1 kann ich nicht zuordnen, untersuche ich andere Systeme erhalte ich 
> nicht zwingend eine Raute ?! Erste Frage hier, was mache ich falsch ? Die 
> zweite Frage ist etwas schwieriger (zumindest für mich), vor den 
> Koeffizienten p steht eine Funktion f(t) die ich gerne so wählen möchte 
> (bzw. berechnen lassen möchte), daß "alle" Eigenwerte reell und positiv 
> werden (wenn das überhaupt geht ?!). A,B und sämtliche P Werte sind keine 
> Funktionen von t (Zeit).

Also, das sind die sogenannten Pure Functions. Du kannst z. B.
f[x_] = x^2
definieren und rechnest dann
f[3]
aus. Aber wenn Du f nicht festlegen moechtest, kannst Du auch sagen
(#^2)& [3]

#1 steht fuer den ersten Funktionsparameter, #2 fuer den zweiten etc.

Auch sehr schoen erklaert im Handbuch unter "Pure Functions". Warum Du "#" 
im Ergebnis erhaelst, ist, weil Mma so die Wurzeln (= Nullstellen) von 
Funktionen angeben kann; und das steht im Handbuch unter "Root" 
phantastisch erklaert.

Dann zur Matrix: Wenn das eine reelle Matrix sein soll, was ich nicht 
weiss, da Du nichts zu den verwendeten Parametern gesagt hast, ist sie ja 
symmetrisch, d.h. sie hat eh nur reelle Eigenwerte. Ist sie dann noch 
positiv definit, sind die Eigenwerte positiv. Das Hurwitz-Kriterium fuer 
reelle symmetrische Matrizen sagt Dir jetzt, dass die Hauptminoren dann 
positiv sein muessen. (Das sind die Determinanten der linken oberen 
Untermatritzen der Matrix G=(g_{j,k}), gegeben durch G_v = (g_{j,k}) mit 1 
<= j,k <= v.)

Gruesse Harald v. Aschen