Re: Taylorentwicklung für mehrere Veränderliche ..

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Hallo Winfried,

der guten Ordnung halber sind dennoch 3 Fehler in meinem Posting zu 
korrigieren:
(1) das Multinomial[Sequence @@ oo] in bilgicTaylor muss ersatzlos 
gestrichen werden
(2) in der Formel fuer exp(x0.d)f sind Schreibfehler, also korrekt
f[x + x0] = exp(x0.d) f  = f[x] + (x0.d) f/1! + (x0.d)^2f/2! + 
(x0.d)^3f/3! + ... + R.
(3) die Ableitungen werden an der Stelle x genommen, natuerlich, denn 
man will die bei x bekannte Funktion nach x + x0 mittels der Ableitungen 
extrapolieren. Die eigentlichen Variablen in bilgicTaylor sind zeroL, 
während der Punkt, um den entwickelt wird, durch varL gegeben ist. Oder, 
mit anderen Worten:

bilgicTaylor[f_, varL_List?VectorQ, zeroL_List?VectorQ, degree_Integer?
   NonNegative] :=
 Module[{X, tPD},
     (* total preDifferential *)
     X /: X[o_List]^n_Integer := Product[X[o], {i0, n}];
     X /: X[o_List] X[p_List] := X[o + p];
     tPD = Plus @@ (zeroL×Thread[X[Sort[
     Permutations[Join[{1}, Table[0, {Length[zeroL] - 1}]]],
       Flatten[Position[#, 1] &]]]]);
     (* result *)
     f[Sequence @@ varL] + Sum[Expand[tPD^d]/d!, {d,
           1, degree}] //. X[oo_List] \[RuleDelayed] 
Derivative[Sequence @@ oo][
     f][Sequence @@ varL]
     ] /; Length[varL] == Length[zeroL]

Mit den besten Gruessen
Udo.

Winfried Bilgic wrote:

> Hallo Udo,
>
> vielen vielen Dank, sehr flott und recht elegant...
>
> Dankende Grüße
>
> Winfried
>
> On 21.12.2003, at 14:31, Udo und Susanne Krause wrote:
>
> > Hallo Winfried,
> >
> > diese Aufgabe ist fuer Funktionen von 0 < n < \infty Veraenderlichen 
> > nicht sehr kompliziert.
> > Man kann dazu die Funktion bilgicTaylor (:-)) verwenden:
> >
> > Remove[bilgicTaylor];
> > bilgicTaylor[f_, varL_List?VectorQ, zeroL_List?VectorQ,
> >    degree_Integer?NonNegative] :=
> >  Module[{X, tPD},
> >      (* total preDifferential *)
> >      X /: X[o_List]^n_Integer := Product[X[o], {i0, n}];
> >      X /: X[o_List] X[p_List] := Multinomial[Sequence @@ (o + p)] X[o 
> > + p];
> >      tPD = Plus @@ (zeroL×Thread[X[Sort[
> >      Permutations[Join[{1}, Table[0, {Length[zeroL] - 1}]]],
> >        Flatten[Position[#, 1] &]]]]);
> >      (* result *)
> >      f[Sequence @@ zeroL] +
> >      Sum[Expand[tPD^
> >            d]/d!, {d, 1, degree}] //. X[oo_List] \[RuleDelayed] 
> > Derivative[Sequence @@ \
> > oo][f][Sequence @@ varL]
> >      ] /; Length[varL] == Length[zeroL]
> >
> > Die Mathekladden des ersten Semesters sagen, dass (x und x0 als 
> > Vektoren zu verstehen, das totale Differential d ebenso)
> > f[x + x0] = exp(x0 d) f  = f[x0] + df /1! + d^2f/2! + ... + d^mf/m! + R,
> > wobei R das Restglied ist.
> > Damit  man nicht zu Anfang mühsam mit Sequences in Derivative rechnen 
> > muss, bildet man zuerst einen nahrhaften untaetigen Operator X mit 
> > einem Listenargument, sammelt dann alle Ausdruecke fuer das totale 
> > preDifferential tPD, bildet die gewuenschten Summanden des 
> > Exponentials und ersetzt X bei der Ausgabe durch den richtigen 
> > Ausdruck. Beispiele sind in dem beiliegenden Notebook. Sie muessten 
> > darueberhinaus dafuer sorgen, dass Ihre Funktion f an der Stelle 
> > zeroL abgeleitet wird.
> >
> > Mit den besten Gruessen
> > Udo.
> >
> > <taylorBilgic.nb>