Re: AW: Explizite Darstellung von Fourierreihen

[Udo und Susanne Krause <su.krause@XXXXXXX.ch>]

Guten Abend Reinhard,

die Bedingungen dieser Aufgabe sind nicht genau angegeben, aber man kann 
versuchen, sie formal zu diskutieren. Also:

h[t0] = Sum[ H[2 Pi I k/T] Exp[(2 Pi I k /T) t0) , {k, -Infinity, + Infinity}] 

k ganz, T und t0 reell. Wenn t = 2 Pi t0/T ist, dann ist h[t0] = h[t 
T/(2 Pi)] die Fourierreihe

h[t T/(2 Pi)] = Sum[C[k] Exp[i k t], {k, -Infinity, Infinity}], wobei 
der Fourierkoeffizient

C[k] := H[2 Pi I k/T] ist, sofern C[k] == Conjugate[C[-k]], das ist eine 
Bedingung an Ihre Funktion H[].

Andererseits sind die Fourierkoeffizienten C[k] definiert als:

C[k] = Conjugate[C[-k]] = 1/(2 Pi) Integrate[f[tau] Exp[-i k tau]. {tau, 
-Pi, Pi}].

Wenn Sie diese Formel in die Fourierreihe einsetzen und die Summe über k 
unter das Integral ziehen, dann kommt wegen

Sum[Exp[i k (t - tau)], {k, -Infinity, Infinity}] = 2 Pi DiracDelta[t - 
tau] folgendes heraus:

h[t T/(2 Pi)] = f[t].

That's it, Sie müssten also die Integralgleichung erster Art (T konstant)

H[2 Pi I k/T] = 1/(2 Pi) Integrate[f[tau] Exp[-I k tau], {k, -Pi, Pi}]

lösen. Dazu gibt es eine umfangreiche Literatur, etwa S. Fenyö, H. W. 
Stolle: Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen,  (* VEB *) 
Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1983. Falls die Bedingung an 
C[k] nicht erfüllt ist, kann dieser Weg nicht beschritten werden. Ist 
sie erfüllt, so wurde nur die Definition für eine Fourierreihe benutzt - 
bitte um Entschuldigung für den karen Beitrag.

Mit den besten Grüssen
Udo.