Integral soll BesselJ ergeben

["B. Schnizer" <schnizer@XXXXXXX.at>]

ein Bekannter (und MatLab-Verfechter!) behauptet, daß dieses Integral

2 Pi Integrate[E^(I x Sin[z]]) E^(-I m z), z, -Pi, Pi]

gerade die Besselfunktion BesselJ ergibt. Leider habe ich gerade keine
Formelsammlung zur Hand, um das nachzuschlagen. Und leider weigert sich
Mathematica auch, das so auszurechnen. Auch mit ein paar Assumptions (m ist
aus Integers, ...) klappt es nicht. Könnt Ihr mir helfen, daß Mathematica
das zu BesselJ vereinfacht [und das Lachen meines Bekannten einfriert ;-) ]?

Gunnar Lindenblatt

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>Integrate[E^(I x Sin[z]]) E^(-I m z), z, -Pi, Pi] = 2 Pi J_m(z)

Dies beweist man mittels der erzeugenden Funktion

E^(I x Sin[z]]  =  Sum[ J_n (x) E^(I n z), {n, -Infinity, Infinity}].

http://functions.wolfram.com/BesselAiryStruveFunctions/BesselJ/11/0001/

In der zitierten Formel muss man t = Exp[I z]  setzen und einen
Druckfehler (Argument der Besselfunktion muss  x   lauten) korrigieren.
Dann bekommt man obige eryeugende Funktion .

B, Schnizer

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