Re: Stellenauslöschung ! SetPrecision und Algorithmus [Davidson]

["Jens-Peer Kuska" <kuska@XXXXXXX.de>]

Hallo,

nun das ist ja sehr seltsam, was wohl passiert 
wenn man
nicht mit 50 Stellen sondern mit 200 rechnet ??
Es rechnet einfach so, ohne Probleme ?? keine 
Warnungen oder
gar Fehler ??? tja dann wird wohl einfach die 
Präzision
zu niedrig gewesen sein.

Gruß
 Jens

----- Original Message ----- 
From: "Marc von Bredow" <mvb@XXXXXXX.de>
To: <demug@XXXXXXX.ch>
Sent: Wednesday, May 25, 2005 1:19 PM
Subject: Stellenauslöschung ! SetPrecision und 
Algorithmus [Davidson]


> Hallo,
>
> hier noch einmal die Problematik von N und 
> SetPrecision und die dann
> eintretende Stellenauslöschung beim Rechnen
>
> Das nb beinhalted eine simple Form des 
> Davidson-Verfahren zur Bestimmung des
> betragsmässig größten Eigenwertes einer 100x100 
> Matrix, reell, nicht
> symmetrisch, zufällig.
> Schaut Euch mal die Ergenisse an [mit 
> Mathematica 5.1 gemacht. MIt Version 4
> läuft es so nicht, da ich die Funktion "Norm" 
> und "Eigenvalues" zur
> Bestimmung eines EW benutze. "Eigenvalues[A,1]" 
> liefert den gößten EW. Aber
> das ist im Grunde nebensächlich.
>
> In der ersten Zelle werden die Ausgangsmatrix A 
> und der Startvektor mit N
> berechnet:
>
> n = 100;
> tmp = N[Table[If[i ==  j, Random[Real, {0, 1}], 
> Random[Real, {0, 1}]], {i,
> 1, n}, {j, 1, n}]];
> A = tmp;
> .
> .
> .
> tmp = N[Table[Random[Real, {-10, 10}], {i, 1, 
> n}]];
>
> [Das If ist nebensächlich und dient nur dazu, im 
> Testfall eine
> diagonaldominante Matrix bei Bedarf zu erzeugen, 
> also eine ganz normale
> Matrix mit Reals].
>
> In der zweiten Zelle wird das Gleiche mit 
> SetPrecision mit 50 Stellen
> gemacht
>
> n = 100;
> tmp = SetPrecision[Table[If[i == j, Random[Real, 
> {0, 1}], Random[Real, {0,
> 1}]], {i, 1, n}, {j, 1, n}], 50];
> A = tmp;
> .
> .
> .
> tmp = SetPrecision[Table[Random[Real, {-10, 
> 10}], {i, 1, n}], 50];
>
> Schaut man sich die Ergebnisse an, dann sieht 
> man, daß in der ersten Zelle
> alles gut geht.
> Die MaschinePrecision bleibt während der 
> Rechnung erhalten und die
> Ergebnisse sind in Ordnung.
>
> In der zweiten Zelle wird die Precision 
> aufgefressen, wie man deutlich
> sieht!
> Woran liegt das?
>
> Im Algorithmus wird auch GramSchmidt zur 
> Orthogonalisierung verwendet. Er
> meckert in der zweiten Zelle rum
> \!\(GramSchmidt::"zeromag" \(\(:\)\(\ \)\) "The 
> magnitude of \!\({
>      0``0.51459253908149,
>     0``0.655168185198406, 0``0.6136232110037116, 
> \
> 0.2911151519510895014`0.02911543173540807, 
> 0``0.7102477517539784, \
> 0``0.656413398009062, 0``0.6835108328676073, 
> 0``0.6192498952159269, \
> 0``0.686386657560155, 0``0.7548169826639913, 
> \(\(\[LeftSkeleton] 90 \
> \[RightSkeleton]\)\)}\) was zero under the inner 
> product \!\(Dot\). This \
> suggests that the vectors are linearly 
> dependent."\)
>
> ok.ok, soll uns nicht weiter jucken, das 
> passiert nun mal im Algorithmus.
> Die Vektoren werden tatsächlich nahezu linear 
> abhängig. (Stellenauslöschung)
> Um die Basis neu aufzubauen muß eben genau 
> deswegen der neue Vektor zu den
> bereits bestehenden orthogonalisiert werden. 
> Deswegen ja GramSchmidt, man
> kann auch Householder nehmen, ändert aber nix 
> wesentliches.
> In der ersten Zelle klappt's, in der zweiten 
> nicht.
> Warum?
>
> Danke und beste Grüße,
> Marc von Bredow