Hallo,
hier noch einmal die Problematik von N und SetPrecision und die dann
eintretende Stellenauslöschung beim Rechnen
Das nb beinhalted eine simple Form des Davidson-Verfahren zur Bestimmung des
betragsmässig größten Eigenwertes einer 100x100 Matrix, reell, nicht
symmetrisch, zufällig.
Schaut Euch mal die Ergenisse an [mit Mathematica 5.1 gemacht. MIt Version 4
läuft es so nicht, da ich die Funktion "Norm" und "Eigenvalues" zur
Bestimmung eines EW benutze. "Eigenvalues[A,1]" liefert den gößten EW. Aber
das ist im Grunde nebensächlich.
In der ersten Zelle werden die Ausgangsmatrix A und der Startvektor mit N
berechnet:
n = 100;
tmp = N[Table[If[i == j, Random[Real, {0, 1}], Random[Real, {0, 1}]], {i,
1, n}, {j, 1, n}]];
A = tmp;
.
.
.
tmp = N[Table[Random[Real, {-10, 10}], {i, 1, n}]];
[Das If ist nebensächlich und dient nur dazu, im Testfall eine
diagonaldominante Matrix bei Bedarf zu erzeugen, also eine ganz normale
Matrix mit Reals].
In der zweiten Zelle wird das Gleiche mit SetPrecision mit 50 Stellen
gemacht
n = 100;
tmp = SetPrecision[Table[If[i == j, Random[Real, {0, 1}], Random[Real, {0,
1}]], {i, 1, n}, {j, 1, n}], 50];
A = tmp;
.
.
.
tmp = SetPrecision[Table[Random[Real, {-10, 10}], {i, 1, n}], 50];
Schaut man sich die Ergebnisse an, dann sieht man, daß in der ersten Zelle
alles gut geht.
Die MaschinePrecision bleibt während der Rechnung erhalten und die
Ergebnisse sind in Ordnung.
In der zweiten Zelle wird die Precision aufgefressen, wie man deutlich
sieht!
Woran liegt das?
Im Algorithmus wird auch GramSchmidt zur Orthogonalisierung verwendet. Er
meckert in der zweiten Zelle rum
\!\(GramSchmidt::"zeromag" \(\(:\)\(\ \)\) "The magnitude of \!\({
0``0.51459253908149,
0``0.655168185198406, 0``0.6136232110037116, \
0.2911151519510895014`0.02911543173540807, 0``0.7102477517539784, \
0``0.656413398009062, 0``0.6835108328676073, 0``0.6192498952159269, \
0``0.686386657560155, 0``0.7548169826639913, \(\(\[LeftSkeleton] 90 \
\[RightSkeleton]\)\)}\) was zero under the inner product \!\(Dot\). This \
suggests that the vectors are linearly dependent."\)
ok.ok, soll uns nicht weiter jucken, das passiert nun mal im Algorithmus.
Die Vektoren werden tatsächlich nahezu linear abhängig. (Stellenauslöschung)
Um die Basis neu aufzubauen muß eben genau deswegen der neue Vektor zu den
bereits bestehenden orthogonalisiert werden. Deswegen ja GramSchmidt, man
kann auch Householder nehmen, ändert aber nix wesentliches.
In der ersten Zelle klappt's, in der zweiten nicht.
Warum?
Danke und beste Grüße,
Marc von Bredow
Davidsonmethode.nb
Description: Mathematica Notebook document
