Hallo Johannes,
die letzte Stochastikvorleseung verhallte im vergangenen Jahrtausend, so
gehört der Schreiber weder zu den einen noch zu den anderen. Nur zum
Sagen, da beide Zufallsvariablen Z1 und Z2 unabhängig voneinander und
mit der gleichen Dichte f verteilt sind, wird offensichtlich eine
Charakterisierung von f (f symmetrisch, f Diracverteilung, ...) gesucht.
Man schlägt Bellach - Franken - Warmuth - Warmuth, "Mass, Integral und
bedingter Erwartungswert", WTB 226, Berlin 1978, S. 106 ff auf und kann
etwas herumrechnen, ohne in die Integrale abzudriften:
Wg. E(a Y1 + bY2 | C) = a E(Y1 | C) + b E(y2 | C)
wird
E(Zi | Zi >= zHat/2) >= 1/2 E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
2 E(Zi | Zi >= zHat/2) >= E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
Z1 und Z2 sind voneinander unabhängig, daher kann man einmal Z1 und
einmal Z2 verwenden
E(Z1 | Z1 >= zHat/2) + E(Z2 | Z2 >= zHat/2) >= E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
wg. S. 108 wenn eine Zufallsgrösse Y von der Bedingung C unabhängig ist
E(Y | C) = EY und aus Ihrer Aufgabe n.V. EZi = 0
kann man intuitiv (!) linkerhand nahrhafte Nullen einfügen
E(Z1 | Z1 >= zHat/2) + E(Z1 | Z2 >= zHat/2) + E(Z2 | Z2 >= zHat/2) +
E(Z2 | Z1 >= zHat/2) >= E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
E(Z1 | Z1 >= zHat/2 && Z2 >= zHat/2) + E(Z2 | Z2 >= zHat/2 && Z1 >=
zHat/2) >= E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
die Bedingungen sind nun gleich und somit retour mit der erstgenannten
Formel
E(Z1 + Z2 | Z1 >= zHat/2 && Z2 >= zHat/2) >= E(Z1 + Z2 | Z > zHat)
das wäre nun die Bedingung für dieselbe Zufallsgrösse (Z1 + Z2), dass
wenn Z1 und Z2 je für sich grösser sind als zHat/2, der bedingte
Erwartungswert grösser sein soll als wenn Z1 + Z2 > zHat. Geometrisch
gibt es natürlich für den ersten Fall einen grösseren Träger -
merkwürdigerweise; noch nicht verwendet wurde, dass die Bedingung für
alle (sinnvollen) zHat gelten soll. Um jetzt weiterzukommen, ist
reverses engineering immer eine gute Idee, dazu müsste man aber wissen,
welche Literatur am Lehrstuhl üblicherweise gelesen, geschrieben bzw.
empfohlen wird. Die andere, bessere, Möglichkeit ist, jetzt einmal die
Integrale hervorzuholen und zu probieren, ob sich eine einleuchtende
Charakterisierung für f herleiten lässt. Diese würde dann rückwärts die
o.g. Überlegung rechtfertigen. Im gegenteiligen Fall war diese
Überlegung Nonsense und gehört verworfen.
Gruss nach Hamburg
Udo.
Johannes Bruder wrote:
Liebe Stochastik-Experten und Wahrscheinlichkeitstheoretiker,
ein Problem raubt mir den Schlaf und letzten Nerv. Es geht um
bestimmte Eigenschaften der Summe von zwei Zufallsvariablen, die
eigentlich irgendwie zu zeigen sein sollten. Eine kurze Beschreibung des
Problems findet Ihr unter:
http://www1.uni-hamburg.de/PFAEHLER/Problem.pdf
:) Tipps, Anregungen und sonstige sachdienliche Hinweise werden
fürstlich und individuell belohnt...
Besten Dank für die Hilfe und viele Grüße aus Hamburg,
Jo
DMUG-Archiv, http://www.mathematica.ch/archiv.html