Hallo Johannes,Nach numerischen Experimenten (siehe das beiliegende Notebook) vermute ich, dass die Eigenschaft für alle stückweise stetigen Wahrscheinlichkeitsdichten f[x] gilt, die auf einer endlichen Anzahl von (paarweise) disjunkten Intervallen ungleich Null sind und Erwartungswert 0 haben [man könnte abstrakt sagen: für alle Wahrscheinlichkeitsdichten f mit E[f] = 0, die nicht gleich ihrer Faltung mit sich selbst sind - es entsteht die Frage, ob es Funktionen gibt, die gleich ihrer Faltung mit sich selbst sind ...].
Einen Beweis habe ich dafür nicht. Zunächst mal, wenn die Zufallsgrösse X mit Dichte f[z] mit z \[in] [-z0, z0] E[Z] = 0 hat, dann hat auch die Zufallsgrösse Z + Z mit Dichte fS[z] mit z \[in] [-2 z0, 2 z0] den Erwartungswert E[Z + Z] = 0. Für die Wahrscheinlichkeiten P[Z][z/2] und P[Z + Z][z], z \[in] [-2 z0, 2 z0] scheint zu gelten, dass es nur eine Stelle z' im offenen Intervall(-2 z0, 2 z0) gibt, an der P[Z][z'/2] = P[Z + Z][z'] gilt. Der "gefühlte" Grund hierfür ist, dass die Dichte fS von Z + Z als Faltung bzgl. ihres Trägers supp fS = supp f + supp f erfüllt, gleichzeitig ist fS normiert.
Weiter gibt es noch 2 Symmetrieen:(1) wenn die Eigenschaft für alle derartigen f[z] gilt, dann auch für f[-z], die gespiegelten Verteilungsfunktionen.
(2) Darüberhinaus sollte zusammen mit der vermuteten Ungleichung 2 E[Z | z >= zHat/2] >= E[Z + Z | z >= zHat] auch die Ungleichung 2 E[Z | z < zHat/2] <= E[Z + Z | z < zHat] gelten. Experimentell ist das sichtbar. Nach Voraussetzung 2E[Z] = E[Z + Z] = 0 oder mit anderen Worten2(E[Z | z < zHat/2] + E[Z | z >= zHat/2]) = E[Z + Z | z < zHat] + E[Z + Z | z >= zHat] = 0
Um fertig zu werden, bräuchte man wenigstens 2 Aussagen:(1) 2 E[Z | z < zHat/2] kann nicht für alle zHat gleich E[Z + Z | z < zHat] sein, es sei denn, Z = Z + Z (!!! oder eine ähnlich absurde Aussage, die etwa gleichrangig mit 2 = 1 wäre, s.o. die Faltungsfrage) -> somit gilt eine Ungleichheit (2) diese Ungleichheit kann den Typ nicht wechseln (darauf scheint ein Hinweis zu sein, dass die beiden Wahrscheinlichkeiten P[Z][z/2] und P[Z + Z][z] anscheinend nur an einem Punkt innerhalb des offenen Intervalls (-2 z0, 2 z0) gleich sind).
Das Problem scheint eine gut ausgedachte Tautologie zu sein, der Beweis dafür ist aber nicht erbracht.
Gruss Udo. P.S.: Wg. der Grösse ist der Output aus dem Notebook entfernt. Udo und Susanne Krause wrote:
Die andere, bessere, Möglichkeit ist, jetzt einmal die Integrale hervorzuholen und zu probieren, ob sich eine einleuchtende Charakterisierung für f herleiten lässt. Diese würde dann rückwärts die o.g. Überlegung rechtfertigen. Im gegenteiligen Fall war diese Überlegung Nonsense und gehört verworfen.Johannes Bruder wrote:ein Problem raubt mir den Schlaf und letzten Nerv. Es geht um bestimmte Eigenschaften der Summe von zwei Zufallsvariablen, die eigentlich irgendwie zu zeigen sein sollten.
bruderSummeZufallsvariablenUneval.nb
Description: Mathematica Notebook document
