Re: Allgemeine Loesung der Wellengleichung - Formulierung in MMa

[Jens-Peer Kuska <kuska@XXXXXXX.de>]

Hallo,

die Frage "ubersteigt etwas meinen Verstand ...
Die L"osung der 1d homogenen Wellengleichung 

D[u[x,t],{t,2}]- v^2 D[u[x,t],{x,2}]==0

u[x,0]==phi[x]
Limit[D[u[x,t],t],t->0]==psi[x]

Element[x,(-Infinity,Infinity}]

lautet nach der d'Alembertschen Formel

u[x,t]->
(phi[x+v*t]+phi[x-v*t])/2+Integrate[psi[xi],{xi,x-v*t,x+v*t}]/(2 v)

und das definiert man genau so in Mathematica

dAlembert[v_][phi_, 0, x_, t_] := (phi[x - v*t] + phi[x + v*t])/2
dAlembert[v_][phi_, psi_, x_, t_] := (phi[x - v*t] + phi[x + v*t])/2 + 
    Integrate[psi[xi], {xi, x - v*t, x + v*t}]/(2v) 

Ansonsten ist die L"osung der hyperbolischen Gleichung

D[u[x,t],{t,2}]- v^2 D[u[x,t],{x,2}]==0

ohne Anfangs- und Randbedingungen

u[f,v][x,t]-> C[1]*f[x-v*t]+C[2]*f[x+v*t]

und das definiert man auch genau so in Mathematica

 u[f_, v_][x_, t_] := C[1]f[x - v*t] + C[2]f[x + v*t]

wie die Probe mit:

D[u[f, v][x, t], x, x] - D[u[f, v][x, t], t, t]/v^2 // Simplify

zeigt und differenzieren tut man wie immer mit D[] ..

Gruss
  Jens

woysch|u| wrote:
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>  directly from my Sun workstation ULTRA 5 under SunOS 5.6 and CDE V 1.0.2
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> An alle Mathematica-Kundigen !             Stuttgart, den 26. August 2003
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> Allgemeine Loesung der Wellengleichung - Formulierung in MMa
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> Die allgemeine, eindimensionale Loesung der Wellengleichung lautet :
> 
>   u[ t_, z_ ]  := fh[ t - z/v ] + fr[ t + z/v ] .
> 
> Dabei loest
> 
>    _jede_ Funktion des Argumentes [ t - z/v ]
> 
>               oder des Argumentes [ t + z/v ]
> 
> die Wellengleichung.
> 
> Meine Fragen
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> 
>   - Wie definiert man solche _allgemeinen Funktionen_
> 
>       fh[ t - z/v ] , fr[ t + z/v ] in MMa ?
> 
>   - Sobald die beiden Funktionen fh[ t - z/v ], fr[ t + z/v ] definiert sind,
> 
>       sollte sich die Funktion u[ t_, z_ ] von oben
> 
>       auch wie oben angegeben definieren lassen.
> 
>   - Wie differenziert man eine solche allgemeine Funktion u[ t_, z_ ]
> 
>     in MMa dann nach ihren Argumenten ?
> 
> Vielen Dank fuer jeden Hinweis !
> 
> Mit freundlichen Gruessen,
> 
> Gunter Woysch
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>    Dr. G. Woysch                         ASIC Technology and Qualification
>       c/o Alcatel SEL AG                          VLSI Layout Verification
>           Research Center                               VLSI Interconnects
>           ZFZ/TM
>           Holderaeckerstr. 35                     Phone +49-711- 821 32176
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